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1. Memoization

가. 피보나치수열

F0 = 0;
F1 = 1;
Fn+2 = Fn+1 + Fn;

피보나치수열의 점화식이다.

fib(n)
    IF m < 2 : RETURN n
    ELSE : RETURN fibo(n - 1) + fibo(n - 2)
Code language: PHP (php)

fib1, fib2 … 등이 중복 호출이 발생한다.

fib()는 순수 함수다.

💡 순수 함수

함수 반환 값은 동일한 인수에 대해 일정합니다.
이 함수에는 부작용이없습니다. (함수 밖에 위치한 어떠한 상태 값도 수정하지 않는다.)

그렇기 때문에 fib1, fib2, … 등을 계산 결과는 항상 일정하다.

한 번만 계산하고 결괏값을 재사용할 수 있다.

나. Memoization

컴퓨터 프로그램을 실행할 때 이전에 계산한 값을 메모리에 저장하여 매번 다시 계산하지 않도록 하여 전체적인 실행속도를 빠르게 하는 기술

memo[0] = 0;
memo[1] = 1;

fib(n)
    IF n >= 2 AND memo[n] = 0
        memo[n] <- fib(n-1) + fib(n-2)
    RETURN memo[n]
Code language: PHP (php)

import java.util.Scanner;

public class FibonacciTest {

    static long callCnt1, callCnt2;
    static long[] memo;

    static long fibo1(int n) {
        callCnt1++;
        if(n<2) return n;
        return fibo1(n-1) + fibo1(n-2);
    }

    static long fibo2(int n) {
        callCnt2++;
        if(n >= 2 && memo[n]==0) memo[n] = fibo2(n-1) + fibo2(n-2);
        return memo[n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        int N = sc.nextInt();
        memo = new long[N+1];
        memo[0] = 0;
        memo[1] = 1;

        System.out.println(fibo1(N));
        System.out.println(callCnt1);
        System.out.println("---------------");
        System.out.println(fibo2(N));
        System.out.println(callCnt2);

    }

}
/*
45
1134903170
3672623805
---------------
1134903170
89
*/
Code language: JavaScript (javascript)

하지만 이 방식은 memo라는 추가적인 메모리 공간이 필요하다.

재귀 함수 호출과 memo 저장을 위해서는 많은 메모리를 사용한다.

이는 실행 속도 저하 또는 메모리 부족을 발생시킬 수 있으므로 주의하자.

2. DP

동적 계획법
최적화 문제를 해결하는 알고리즘이다.
먼저 작은 부분 문제들의 해들을 구하고 이들을 이용하여 큰 크기의 부분 문제들을 해결하여, 최종적으로 원래 주어진 문제를 해결하는 알고리즘 설계 기법이다. (분할 정복?)

가. DP의 적용 요건

DP로 풀어내기 위해서는 2가지 조건을 만족해야 한다.

중복 부분문제 구조
: 전체 문제를 분할하는 과정에서 같은 부분 문제가 반복적으로 나타나는 특성
최적 부분문제 구조
: 부분 문제의 최적이 모여서 전체 문제의 최적을 이룬다.

나. DP? 분할 정복?

	동적 계획법	분할 정복
최적 부분 문제	O	O
중복 부분 문제	O	X
메모이제이션	O	X

다. DP 접근 방법

	하향식	상향식
설명	큰 문제 해결을 위해서 작은 문제 호출	작은 문제 해결 후 큰 문제 해결
구현	재귀 함수	반복문
결과 저장	계산한 결과를 반드시 사용.	계산한 결과를 담아놓기만 하고 사용하지 않을 수 있다.
특징	점화식을 이해하기 쉬움.	재귀 호출이 없어 시간과 메모리 사용량이 감소.

보통 DP는 상향식 접근법을 더 많이 사용한다.

라. 피보나치 DP로 구현

import java.util.Scanner;

public class FibonacciTest {
    static long[] dp;

    static long fiboDP(int n) {
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        dp = new long[N+1];
        System.out.println(fiboDP(N));
    }
}
Code language: JavaScript (javascript)

[Java] Memoization, DP